Définition du coefficient de détermination (R²)
Le R², également connu sous le nom de coefficient de détermination, est une mesure statistique cruciale utilisée pour évaluer l’efficacité d’un modèle de régression linéaire dans la description de la relation entre les variables.
Il quantifie la proportion de la variance de la variable dépendante qui est prévisible à partir des variables indépendantes. Autrement dit, le R² mesure dans quelle mesure les fluctuations d’une variable peuvent être expliquées par les variations d’une ou plusieurs autres variables, dans le cadre d’un modèle de régression.
Ce coefficient est exprimé sur une échelle de 0 à 1, où un R² de 1 indique que le modèle de régression explique entièrement la variance de la variable dépendante, signifiant une adéquation parfaite.
À l’inverse, un R² de 0 suggère que le modèle ne parvient pas à expliquer la variance de la variable dépendante, indiquant ainsi une adéquation inexistante. Il est également courant de présenter le R² sous forme de pourcentage, offrant une interprétation intuitive de la part de variance expliquée par le modèle.
Le R² se distingue de la corrélation en ce sens que, si la corrélation mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables, le R² se concentre sur la capacité d’une variable ou de plusieurs variables indépendantes à prédire la variation d’une variable dépendante.
En pratique, un R² élevé signifie que le modèle de régression capture une grande partie de la variance disponible, ce qui est souvent interprété comme une indication de la qualité ou de la précision du modèle.
Néanmoins, il est important de noter que si un R² élevé peut indiquer une bonne adéquation du modèle, il ne garantit pas nécessairement que les prédictions soient exactes ou que le modèle soit le plus approprié pour des données spécifiques.
D’autres diagnostics et mesures doivent être considérés pour évaluer pleinement la pertinence d’un modèle de régression. En résumé, le R² est un outil précieux pour comprendre et évaluer la qualité d’un modèle de régression, mais il doit être utilisé judicieusement et en complément d’autres indicateurs.
Comment se calcule le R2?
Le R² se calcule à partir de la formule suivante :
R² = 1 – (Somme de 1 à n de (y_i – ^y_i)²)/(Somme de 1 à n de (y_i – y_barre)²)
Avec y_i la valeur du point i, ^y_i la valeur prédite pour le point i par la régression linéaire, y_barre la moyenne empirique des points donnés.
Interprétation des valeurs de R carré?
Ce coefficient est compris entre 0 et 1, et croît avec l’adéquation de la régression au modèle:
- Si le R² est proche de zéro, alors la droite de régression colle à 0% avec l’ensemble des points donnés.
- Si le R2 d’un modèle est de 0,50, alors la moitié de la variation observée dans le modèle calculé peut être expliquée par les points
- Si le R² est de 1, alors la régression détermine 100% de la distribution des points. En pratique, il est impossible d’obtenir un R2 de 1 à partir de données empiriques. On considère qu’un R carré est élevé lorsqu’ils se situe entre 0.85 et 1
Le R2 dans le domaine financier
En général, on utilise R carré en finance pour suivre le pourcentage de variation d’un fonds ou d’un actif qui s’explique par les mouvements d’un autre indice, en particulier des indices de référence comme le S&P500.
Bêta en finance est aussi une mesure de corrélation d’actifs, de titres ou d’indices mais différent de R carré. En effet, R-carré mesure dans quelle mesure la variation du prix d’un actif est corrélée à un indice de référence. Le bêta mesure l’ampleur de ces variations de prix par rapport à un indice de référence. Un titre dont le bêta est élevé peut produire des rendements supérieurs à l’indice de référence, tandis qu’un R carré élevé montre que la corrélation avec cet indice est très forte. A titre de rappel, pour bêta, le point de référence est 1 : si bêta est inférieur à 1, le titre est moins volatile que, tandis que si bêta est supérieur à 1 le titre l’est plus.
Il peut être intéressant de considérer ensemble ces deux indices qui donnent à l’investisseur une image plus complète de la performance relative de l’actif sous gestion.
L’étude de ces deux indicateurs peut aussi être complétée par celle du coefficient alpha. Ce dernier donne un aperçu de la sur performance ou de la sous performance d’un fonds par rapport à un indice de référence. Si cet alpha est positif, alors le portefeuille ou le fonds est meilleur que l’indice. Plus cet alpha est élevé, meilleur est donc le fonds : par exemple, s’il est de 2, il est de 2% meilleur dans ses performances.
L’Essentiel
- R², ou R-carré est appelé coefficient de détermination, est utilisé surtout en statistiques pour juger de la qualité d’une régression linéaire
- En finance il permet de déterminer le pourcentage de variation d’un portefeuille qui s’explique par les mouvements d’un autre indice
- Son étude peut être complétée par celle des coefficients alpha et beta.
