L’Essentiel
- la régression linéaire est une méthode statistique qui vise à estimer une grandeur en fonction d’une ou plusieurs autres à partir d’un jeu de données ;
- on peut calculer mathématiquement les différents coefficients pour déterminer leur poids ;
- la régression linéaire est notamment utilisée en finance dans le modèle CAPM.
La régression est une mesure statistique utilisée en finance, mais aussi dans d’autres disciplines scientifiques pour tenter de déterminer la force de la relation entre une variable dépendante (habituellement désignée par Y) et une série d’autres variables changeantes (appelées variables indépendantes).
La forme générale de la régression linéaire est la suivante : Y = a*X + b + epsilon avec a et b deux constantes. Y est la variable à prédire, X la variable utilisée pour prédire, a est la pente de la régression et b est l’intercept, c’est-à-dire la valeur de Y lorsque X est égal à zéro.
Dans le cas d’une régression linéaire multiple, il y a plusieurs variables changeantes et on écrit Y = a*X1 + b*X2 + … + z + epsilon.
Epsilon, supposé très petit, correspond au terme d’erreur de la régression. Il donne la possibilité de ne pas être tout à fait exact dans l’estimation. Son espérance mathématique est égale à zéro.
Utilisation de la régression linéaire
En finance, la régression est un outil d’aide à la décision pour effectuer certains placements. Elle permet d’évaluer les actifs et de comprendre les relations entre les différentes variables, notamment pour comprendre quels sont les facteurs principaux qui pèsent sur la détermination d’un prix. Ainsi, souvent, la variable dépendante Y correspond au prix, tandis que les variables X sont des facteurs susceptibles de modifier le prix, comme par exemple des taux d’intérêt. Plus ce coefficient est important en valeur absolu, plus il est susceptible de faire varier le prix.
Techniquement, cette droite est tracée entre les différents points qui font correspondre une valeur x et une valeur y dans un repère. Elle est tracée en utilisant la méthode des moindres carrés, c’est-à-dire en trouvant les coefficients de la droite de telle sorte que la somme des carrés des écarts entre chaque point original et le point de la droite qui passe par la même ordonnée soit minimisée. Des logiciels de traitement des données comme Excel calculent très rapidement ces coefficients à partir d’un jeu de données.
Cette « approximation moyenne » est très représentative de la situation et de l’évolution des prix lorsque les points sont rapprochés et dessinent une tendance, mais il est parfois plus difficile d’obtenir une courbe de tendance très représentative de la situation lorsque les données sont plus éclatées.
Utilisation de la régression linéaire dans le modèle CAPM
Dans le modèle CAPM, on réalise une régression du rendement espéré d’un actif E(Ra) sur le taux d’intérêt sans risque (Rf) et sur la rentabilité espérée du marché (E(Rm)). Le coefficient beta de l’actif, qui se place devant la rentabilité espérée du marché, correspond à la pente de la régression. On écrit ainsi :
E(Ra) = Rf + beta(E(Rm) – Rf).
E(Rm) – Rf est la prime de risque du marché, c’est elle qui est amenée à varier et à peser plus ou moins sur la rentabilité espérée de l’actif selon la valeur de beta. Ici, c’est donc le rendement d’une action qui est régressé par rapport à celui d’un indice plus large.
