L’Essentiel
- Les simulations de Monte-Carlo sont des algorithmes utilisés dans le but d’estimer la probabilité d’occurrence d’un scénario dans lequel interviennent des paramètres aléatoires.
- Les simulations de Monte Carlo sont utilisées dans de très nombreux domaines, en particulier en finance.
- Développés au milieu du 20ème siècle, les simulations de Monte Carlo font appel à des notions de probabilité et de statistique avancées.
Définition de la méthode de Monte Carlo
Les simulations de Monte-Carlo sont des algorithmes utilisés dans le but d’estimer la probabilité d’occurrence d’un scénario dans lequel interviennent des paramètres aléatoires. C’est une technique statistique permettant de comprendre l’influence de l’incertitude dans les modèles de prédiction, notamment en finance.
Les méthodes de Monte Carlo sont en néanmoins utilisée dans des champs scientifiques très variés.
Comprendre les simulations de Monte Carlo
Face à un problème d’estimation dans lequel interviennent de nombreuses incertitudes, plutôt que de remplacer les variables aléatoires par des valeurs moyennes, les simulations de Monte Carlo proposent une solution plus efficace. La finance étant un domaine où les phénomènes aléatoires sont légion, les simulations de Monte Carlo possèdent un vaste champ d’application dans ce secteur. Elles sont utilisées pour estimer les dépassements de coûts dans des projets importants, ou pour estimer la probabilité que le prix d’un actif évolue d’une certaine manière. Dans les télécommunications, les simulations de Monte Carlo peuvent permettre d’estimer les performances d’un réseau dans différentes situations, afin d’optimiser ce dernier. Les analystes financiers, les assurances ou les compagnies pétrolières font également appel aux méthodes de Monte Carlo, qui possèdent d’innombrables applications dans tous les domaines.
Le nom de Monte Carlo provient du quartier de Monaco connu pour ses nombreux casinos, place forte des jeux de hasard. L’aléatoire est en effet une part centrale à la fois des modèles d’estimation mais également des jeux de hasard comme la roulette ou les machines à sous.
Ces méthodes furent développées pour la première fois par Stanislaw Ulam, un mathématicien ayant auparavant travaillé sur le Projet Manhattan. Après la guerre, en période de convalescence suite à une opération du cerveau, Stanislaw Ulam passait le temps en jouant au solitaire. À force de jouer, il s’intéressa au tracé des issues de chacune de ses parties dans le but d’observer leur distribution et de déterminer sa probabilité de gagner une partie. En collaboration avec John Von Neumann, un autre mathématicien, il développa ainsi la première simulation Monte Carlo.
Exemple d’une simulation de Monte Carlo
Il est possible d’utiliser une simulation de Monte Carlo afin de modéliser les variations possibles du prix d’un actif, à l’aide d’un logiciel comme Excel. Les mouvements de prix d’un actif sont influencés par deux principaux facteurs : les fluctuations à court terme qui peuvent être modélisées par un processus aléatoire et les fluctuations à long terme, modélisées par une tendance d’évolution. En analysant l’historique des prix passés, il est possible de déterminer cette tendance de fond, ainsi que l’écart-type, la variance et l’espérance du prix futur de l’actif considéré. Ces derniers sont les pièces maîtresses pour l’établissement d’une simulation de Monte Carlo.
Pour prévoir une trajectoire possible du prix d’un actif, l’historique des prix passés peut permettre de produire une série de rendements journaliers ainsi :
Rendement journalier_n = ln( prix jour_n / prix jour_n-1 )
On calcule ensuite la moyenne, la variance et l’écart-type de cette série statistique comportant N rendements journaliers. On détermine ensuite la tendance générale du mouvement ainsi :
Tendance = Rendement journalier moyen – Variance / 2
On produit ensuite une composante aléatoire sensée représenter la volatilité des prix :
Composante aléatoire = sigma * N
Où sigma désigne l’écart-type de la série statistique, et N une valeur obtenu par un tirage aléatoire.
Enfin, l’équation permettant d’obtenir une estimation pour le prix au jour suivant (N+1) à partir des N prix précédents est :
Prix jour suivant = Prix jour actuel * exp(Tendance + Composante aléatoire)
En répétant ces calculs un certain nombre de fois, on peut reproduire une trajectoire probable de l’évolution des prix. En multipliant les trajectoires, on obtient l’ensemble des scénarios d’évolution et leur probabilité d’occurrence.
